먼저, Ket 는 내적이 정의되어 있는 벡터공간, 즉 힐베르트 공간 상에서 정의된 벡터 를 나타낸다.
Bra 는 힐베르트 공간에 정의되어 있는 내적(inner product)를 기반으로 의 쌍대공간(Dual Space) 에 정의되어 있는 원소로써 근본적으로는 선형범함수(Linear Functional)이다. Bra 는 다음을 만족하도록 정의된다.
물론, 힐베르트 공간의 내적을 어떻게 정의하냐에 따라서 의 정의가 같은 에 대해서도 다르게 정의될 수 있음에 유의하라. 위와 같이 정의된 Bra 가 선형범함수임은 다음과 같이 내적의 3공리를 통해 간단하게 증명해볼 수 있다.
선형 연산자와 행렬표현
다음으로 선형연산자 에 대해서 알아본다. 의 순서가 매겨진 정규직교기저(Orthonomal Basis, ONB) 에 대해서 에 선형연산자 를 적용한 결과는 해당 ONB 각각이 에 의해 어떻게 변화하는지만 알면 결정된다. 이라고 하자. 그럼 에 대해 가 적용된 결과는 아래와 같다.
또, 를 기존의 정규직교 기저 로 나타낼 수 있을 것이다. 다음과 같이 가능하다고 가정하면,
의 기저들로 를 로 표현할 때, 의 표현 은 로 나타남을 쉽게 알 수 있고, 따라서 행렬 와 선형연산자 사이에는 다음과 같은 일대일 대응 관계가 성립한다. 즉, 둘은 동형(isomorphic)하다.